太极图的数学表达（3）

三

在图2中，如果以P点为圆心，以该正方形边长的1/2长度为半径，作该正方形的内切圆，则有图５。

在图5中，若把AB视为一根长度为“1”的杠杆，把C、D两点的长度y2-y和y-y1分别视为杠杆两端重物的重量，根据杠杆原理，则存在有：

AR =1-x,  BR =x.  x∈[0,1]

AR / BR = CQ / DQ ,

即(1-x)/x=(y-y1)/(y2-y).

y=xy1+(1-x)y2（4）

设C(x,y1),D(x,y2)，则C,D满足圆方程：

(x-1/2)2+(y-1/2)2=1/4

其中

y1=1/2-,

y2=1/2+

代入式（4）得中国太极图S曲线标准方程为：

y=1/2+(1-2x)，

x∈[0,1].（5）

令y'=0，即得：

x1=1/2-,x2=1/2+.

则y分别有最大值3/4和最小值1/4，由此可确定出中国标准太极图（图７）中的拐点坐标分别为（1/2-，3/4）和（1/2+，1/4），“鱼眼”坐标分别为（1/2-，1/2）和（1/2+，1/2）。

式（4）说明了圆和正方形之间的关系，杠杆和重物尽管各属于两个不同的系统，但距离和重物两个系统之间始终围绕着一个力矩相等的平衡点保持着一个新系统的平衡，即尽管左右两边力臂长短不同，受力大小不同，但两个系统阴阳值的比例相等，这既是阿基米德的杠杆原理，也是杆秤称重物的原理，如图６。对此，我国先秦时期的墨子早已有详细论述。

式（5）说明当把直角坐标系中的x+y=1这条直线放在其内切圆内时，该直线则变形为式（5）的S曲线，如图７。